Le leggi di Keplero

Con questo post vorrei fare una panoramica sulle leggi scoperte dall’astronomo Johannes Kepler e sulle conseguenze che portano.

LA PRIMA LEGGE

La Prima Legge di Keplero enuncia che le orbite dei pianeti non hanno una forma perfettamente circolare, come si credeva in precedenza, ma sono delle ellissi, con il centro del Sole in uno dei due fuochi. Ciò significa che la distanza di un pianeta dal Sole non è costante, ma varia nel corso dell’orbita ed è massima all’afelio e minima al perielio.

Nel caso della Terra, la differenza è piuttosto piccola: 147 milioni di km al perielio e 152 all’afelio. Non è così invece per pianeti come Mercurio, la cui distanza dal Sole varia da 46 a 70 milioni di km, con importanti conseguenze, né tantomeno per molte comete, che passano vicinissime al Sole al perielio e poi si allontanano oltre le orbite dei pianeti più esterni.

Ma come arrivò Keplero a formulare la sua prima legge? Principalmente, tramite l’osservazione di Marte, anch’esso pianeta dall’orbita piuttosto eccentrica, ma al contrario di Mercurio facile da seguire nel cielo notturno per lunghi periodi dell’anno. Ebbene, notò che il movimento apparente del pianeta non era riconducibile in nessun modo ad un’orbita circolare, e, dopo essersi arrovellato per un po’, trovò che invece si adattava perfettamente nel caso di un’orbita ellittica. Applicando poi lo stesso ragionamento per gli altri pianeti concluse che tutti orbitavano attorno al Sole lungo orbite dalla forma di un’ellisse.

LA SECONDA LEGGE

La Seconda Legge di Keplero afferma che il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro di un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.

Cosa significa questo? Lo si può capire meglio aiutandosi con un’immagine:

 

Appare evidente che, perché nei due tratti di orbita presi in esame il raggio vettore descriva la stessa area nello stesso tempo, nel punto in cui il pianeta è più lontano dal Sole la strada percorsa deve essere più breve.
Di conseguenza, se in base alla posizione che ha nell’orbita un pianeta può percorrere in uno stesso intervallo di tempo una strada più o meno lunga, allora la sua velocità non è costante, ma varia continuamente ed è massima al perielio e minima all’afelio.

Naturalmente, più l’orbita è eccentrica, più sarà marcata la differenza fra la velocità minima e quella massima. Nel caso della Terra varia fra 29,291 e 30,287 km/s.

LA TERZA LEGGE
L’enunciato della Terza Legge di Keplero è:
<<Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti>>

Ovvero, espresso in forma matematica:
T²/R³ = K

Ma come si arriva a dire questo? Proviamo a fare una dimostrazione il più semplicemente possibile.
Un corpo qualsiasi permane nella condizione di equilibrio che è l’orbita perché vengono a bilanciarsi perfettamente due forze: la forza di gravità che lo attira verso il baricentro del sistema e la forza centrifuga, che tende a farlo sfuggire via.
Essendoci come detto un bilanciamento possiamo scrivere un’eguaglianza avente come membri le formule che si usano per calcolare rispettivamente la forza di gravità e la forza centrifuga:

GMm/R² = mV²/R
dove G è la costante di gravitazione universale, M e m sono le masse dei corpi, R è la distanza che li separa e V è la velocità orbitale del corpo minore attorno a quello maggiore.

Si assume che la massa del corpo minore sia trascurabile rispetto a quella del maggiore, dunque semplifichiamo per m e troviamo:
GM/R² = V²/R
Moltiplichiamo tutto per R:
V² = GM/R
R = GM/V²

Dato che la velocità orbitale è il risultato della divisione fra la lunghezza dell’orbita (che qui assumiamo circolare, sostituendo con R il valore del semiasse maggiore) e il tempo impiegato a percorrerla, abbiamo:
R = GM / (2πR/T)²
R = GM / 2²π²R²/T²
R³ = GM / 4π²/T²
R³ = GMT² / 4π²
Per cui:
T² = R³4π²/GM
Dato che l’espressione “4π²/GM” è formata da valori costanti, possiamo scrivere:
T² = R³K
E dunque:
T²/R³ = K
Che è proprio l’enunciato della Terza Legge di Keplero.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s